Trigonomeri adalah cabang ilmu
geometri yang sangat penting. Ilmu Ini dapat juga dikatakan sebagai ilmu ukur
segitiga. Dalam bentuk yang elementer (dasar), praktik trigonometri biasanya
dimanfaatkan orang-orang untuk membantu mereka dalam bidang astronomi,
pelayaran, dan survei. Trigonometri ini kemudian menjadi semakin penting dan
memiliki cakupan yang luas dengan dikembangkannya trigonmetri analitik, fungsi
trigonometri, dan trigonometri bola.[1]
Bola (sphere) adalah benda tiga
dimensi yang unik, dimana jarak antara setiap titik di permukaan bola dengan
titik pusatnya selalu sama. Permukaan bola itu berdimensi dua. Karena Bumi
sangat mirip dengan bola, maka cara menentukan arah dari satu tempat (misalnya
masjid) ke tempat lain (misalnya Ka’bah) dapat dilakukan dengan mengandaikan
Bumi seperti bola.
14.1.Lingkaran
Besar dan Lingkaran Kecil di Permukaan Bola
Bola adalah tempat kedudukan
titik-titik yang berjarak sama dari pusat bola itu. Salah satu aplikasi
astronomi adalah menentukan posisi titik-titik di permukaan bumi, yaitu:
lintang, bujur, waktu, dan azimut. Garis yang menghubungkan dua titik pada
permukaan bola dapat dibentuk menjadi lingkaran besar maupun lingkaraan kecil.
Lingkaran besar merupakan lingkaran
bola yang mana titik pusatnya sama dengan titik pusat bola, dan garis tengahnya
sama dengan garis tengah bola. Dengan demikian, jari-jari lingkaran besar sama
dengan jari-jari bumi. Jika dua titik pada permukaan bumi berada pada bidang
yang sama dengan pusat bola, maka irisan yang terbentuk adalah lingkaran besar.
Bola bumi mempunyai banyak lingkaran besar, diantaranya adalah meridian bumi,
lingkaran-lingkaran garis bujur, lingkaran khatulistiwa atau ekuator bumi.[2]
Gambar 14.1. Lingkaran besar
Sedangkan lingkaran kecil bukanlah
merupakan lingkaran bola, melainkan irisan pada permukaan bola yang dibentuk
oleh bidang datar yang tidak melalui pusat bola. Dengan demikian jari-jari
lingkaran kecil lebih kecil dari jari-jari bumi. Lingkaran bola kecil pada bumi
merupakan gambaran dari garis lintang bumi.
Gambar 14.2. Lingkaran kecil
Apabila tiga buah lingkaran besar pada
permukaan sebuah bola saling berpotong-potongan, terjadilah sebuah segitiga
bola.[3]
Segitiga bola adalah bagian dari permukaan bola yan dibatasi oleh tiga jarak
sferis[4].
Gambar 14.3. Perpotongan tiga
lingkaran besar membentuk segitiga bola
Ketiga titik potong dari ketiga
lingkaran besar pada gambar di atas merupakan titik sudut A, B, dan C.
Sisi-sinya berturut-turut dinamakan sisi a, b, dan c, yaitu yang berhadapan
dengan sudut A, B, dan C. Adapun ketentuan di dalam segitiga bola adalah
sebagai berikut.
180˚ < α + β + γ < 540˚
α + β < γ + 180˚
β + γ < α + 180˚
α + γ < β + 180˚
0˚ < a+b+c < 360˚
a < b+c
b < a+c
c < a+b
a = b ↔ α = β
a > b ↔ α > β
14.2.Rumus
Dasar dalam Segitiga Bola
Gambar
14.4. Segitiga Bola ABC
Jika tiga buah lingkaran besar pada
permukaan sebuah bola saling berpotongan, terjadila sebuah segitiga bola.
Ketiga titik potong yang terbentuk, merupakan titik sudut A, B, dan C, besar
masing-masing sudut segitiga bola itu pun dinamakan A,B dan C.[5]
Sisi-sisinya dinamakan berturut-turut
a, b, dan c yaitu yang berhadapan dengan sudut A,B, dan C. Untuk mencegah
kergau-raguan, sisi-sisi itu biasanya diambil yang besarnya kurang dari
seperdua lingkaran. Ilmu ukur segitiga bola mempersoalkan hubungan-hubungan
diantara unsur-unsur di dalam segitiga bola. Dua dalili yang terpenting ialah:
a.
Dalil cosinus:
b.
Dalil sinus:
Dari mana kah kedua persamaan di atas diperoleh. Berikut ini akan
diuraikan penjelasannya.
14.3.Penurunan
Rumus Dalil Cosinus
Umpamakan 0 titik pusat sebuah bola,
dan
ABC sebuah segitiga bola pada permukaan bola
itu. Dari titik sembarangan P pada OB dibuat garis tegak lurus pada bidang OCA
yang jatuh pada titik Q. Dari titik Q dibuat garis tegak lurus pada OC dan OA
yaitu berturut-turut garis QR dan QS. Sudut AOC yang besarnya=b, dibagi dua
oleh garis OQ menjadi dua bagian yang besarnya masing-masing d dan (b-α).
Dalam
segitiga siku-siku OQS:
Dari kedua persamaan di atas, diperoleh:
OS cos
(b-d) = OR cos d (i)
Dalam
segitiga OPS:
OS = OP
cos c (ii)
Dalam
segitiga OPR:
OR = OP
cos a (iii)
Masukkan persamaan (ii) dan (iii) ke persamaan (i), dituliskan
sebagai berikut:
OP cos c
cos (b-d) = OP cos a cos d
Cos c cos (b-d) = cos a cos d
Cos c (cos
b cos d + sin b sin d) = cos a cos d
Cos a cos
d = cos b cos c cos d+ sin b cos c sin d
Cos a= cos b cos c+ sin b cos c
tg d (iv)
Dalam segitiga OQS:
Jika harga (v) dimasukkan ke dalam persamaan (iv) diperoleh:
cos a= cos b cos c+ sin b cos c tg c cos A atau:
Cos a= cos b cos c + sin b sin c cos A
Dalil cosinus di atas juga berlaku untuk:
cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C
14.4.Penurunan
Rumus Dalil Sinus
Dalil sinus diturunkan dari hukum
cosinus.[7]
Bila kedua bagian dikuadratkan, diperoleh:
Bagian kedua persamaan ini bentuknya
simetris, karena a,b,c timbul dalam keadaan-keadaan yang serupa, berhubungan
dengan itu dapat dituliskan:
Oleh
karena sudut-sudut dan sisi sebuah segitiga bola selalu kurang dari 180o,
maka sin a, sin b, sin c, sin A, sin B, dan sin C aemuanya bertanda positif
jadi boleh dituliskan[8]:
[1] Encup Supriatna, Hisab Rukyat dan Aplikasinya, (Bandung:
PT. Refika Adiatma, 2007)h. 5.
[2] Slamet Hambali, Ilmu Falak Arah Kiblat Setiap Saat,
Yogyakarta: Pustaka Ilmu, 2013, hlm. 12.
[3]A. Jamil, Ilmu Falak (Teori dan Aplikasi Arah Qiblat, Awal
Waktu, dan Awalntahun Hisab Kontemporer, Jakarta: Amzah, 2009, hlm. 55
[4]Busur terpendek yang menghubungkan dua titik pada lingkaran besar,
yang besarnya lebih kecil dari pada 180o disebut Jarak sferis.
Panjang busur dinyatakan dalam derajat atau radial. Jaraknya < 1800 radial.
[5] M. Sayuthi Ali, Ilmu Falak 1, Jakarta:
PT Raja Grafindo Persada, 1997, hlm.83.
[6] Sayuthi,... hlm.84.
[7] Sayuthi,...hlm.84-85.
[8] Sayuthi,...hlm.86-87.
0 Comments